アラートが表示されたと思いますが以下がコードです。
<script> alert(true && true != false && "Hello World"); </script>
全ての条件がtrueだと最後の項目が返されます。
最初がtrueで次が同じじゃない場合はtrueなのでtrue、で最後が返されます。
<script> alert(true && true == false && "Hello World"); </script>
こうすると、最初はtrueですが、次は同じではないのでfalseで判定は終わり、falseが返され処理が終わります。最後まで評価されません。